Soit $K_\lambda^d$ l’enveloppe convexe d’un processus de Poisson homogène d’intensité $\lambda$ dans $\mathbb R^d$, $d\ge 2$, restreint à la boule unité euclidienne $\mathbb B^d$. Dans cet article, nous étudions le comportement asymptotique lorsque $d\to\infty$ de la fonction de support $$h^{(d)}_\lambda(u):=\sup_{x\in K_\lambda^d}\langle u,x\rangle$$ dans une direction arbitraire $u\in\mathbb S^{d-1}$ du polytope poissonnien $K_\lambda^d$. Nous identifions trois régimes (sous-critique, critique, et sur-critique) en fonction de l’intensité $\lambda:=\lambda(d)$ et nous établissons précisément dans chaque régime la convergence en loi de $h^{(d)}_\lambda$ après une renormalisation appropriée. Nous traitons en particulier cette question lorsque la fonction de support est considérée dans plusieurs directions simultanément. Enfin, nous en déduisons des contreparties partielles pour la fonction rayon-vecteur du polytope.

Nous étudions la méthode des moments pour les digraphes $d$-réguliers et l’arbre dirigé $d$-régulier limite $T_d$ lorsque le nombre de sommets tend vers l’infini, dans le même esprit que McKay (Linear Algebra Appl., 1981) pour le cadre non-dirigé. En particulier, nous fournissons une dérivation combinatoire de la formule pour les moments mixtes (à partir d’un sommet racine $o\in T_d$) $$M_d(w)\qquad:=\sum_{\substack{v_0,v_1\ldots,v_{k-1},v_k\in T_d\\v_0=v_k=o}}A^{w_1}(v_0,v_1)A^{w_2}(v_1,v_2) \cdots A^{w_k}(v_{k-1},v_k)$$ avec $A$ la matrice d’adjacence de $T_d$, où $w:=w_1\cdots w_k$ est un mot quelconque sur l’alphabet $\{1,∗\}$ et $A^∗$ est la matrice adjointe de $A$. Notre analyse met en évidence un lien entre les sommandes non nulles de $M_d(w)$ et les partitions non croisées de $\{1,\ldots,k\}$ qui sont en un certain sens compatibles avec $w$.

Il est bien connu que la loi du demi-cercle, qui est la distribution limite dans le théorème de Wigner, est le minimiseur de l’énergie logarithmique pénalisée par le second moment. Un fait très similaire est valable pour les théorèmes de Girko et de Marchenko-Pastur. Dans ce travail, nous mettons en lumière un phénomène intriguant suggérant que cette fonctionnelle est monotone le long de la distribution spectrale empirique moyenne en termes de dimension de la matrice. Cela rappelle la monotonicité de l’entropie de Boltzmann le long de l’équation de Boltzmann, la monotonicité de l’énergie libre le long des processus de Markov ergodiques, et la monotonicité de l’entropie ou de l’entropie libre de Shannon le long du théorème central limite classique ou libre. Bien que nous ne vérifiions ce phénomène de monotonicité que pour l’ensemble unitaire gaussien, l’ensemble complexe de Ginibre et l’ensemble unitaire carré de Laguerre, des simulations numériques suggèrent qu’il est en fait plus universel. Nous obtenons en cours de route des formules explicites de l’énergie logarithmique des modèles mentionnés qui peuvent présenter un intérêt indépendant.

Nous étudions les premier et second ordre du développement asymptotique, lorsque la dimension tend vers l’infini, des moments de la norme Hilbert-Schmidt d’une matrice uniformément distribuée dans la $p$-boule de Schatten. Nous considérons le cas de matrices à coefficients réels, complexes, ou quaternioniques, auto-adjointes ou non. Lorsque $p>3$, ce développement asymptotique nous permet d’établir une version généralisée de la conjecture de la variance pour la famille des $p$-boules de Schatten de matrices auto-adjointes.

Nous introduisons le coefficient de corrélation maximal $R(M_1,M_2)$ entre deux sous-espaces probabilisés non commutatifs $M_1$ et $M_2$ et montrons que le coefficient de corrélation maximal entre les sous-algèbres engendrées par $s_n:=x_1+\cdots+x_n$ et $s_m:=x_1+\cdots +x_m$ vaut $\sqrt{m/n}$ pour $m\le n$, où $(x_i)_{i\in \mathbb N}$ est une suite de variables aléatoires non commutatives libres et identiquement distribuées. Il s’agit de l’analogue libre d’un résultat de Dembo-Kagan-Shepp en probabilités classiques. Comme application, nous utilisons cette estimation pour fournir une autre preuve simple de la monotonie de l’entropie libre et de l’information de Fisher libre dans le théorème de la limite centrale libre. De plus, nous prouvons que la divergence de Stein libre introduite par Fathi et Nelson n’augmente pas le long du théorème de la limite centrale libre.

Nous donnons des conditions explicites sur le noyau de transition d’une chaîne de Markov branchante pour que cette chaîne admette une limite d’échelle vers un processus de croissance-fragmentation autosimilaire d’indice négatif. Le résultat inclut également une limite d’échelle pour la généalogie associée vue comme un arbre réel compact.

Le comportement asymptotique de mesures empiriques associées aux fragmentations autosimilaires « pures » (sans croissance) a été étudié sous différents aspects par Bertoin et al. au début des années 2000. Nous traitons cette question lorsque de la croissance est ajoutée aux fragments. Comme pour les fragmentations pures, les martingales additives et leur uniforme intégrabilité jouent un rôle essentiel. Dans le cas homogène, le lien étroit avec les marches aléatoires branchantes permet notamment d’établir une loi forte pour certaines mesures empiriques et de préciser le comportement du plus gros fragment. Nous discuterons ensuite du cas autosimilaire, en exploitant les propriétés des martingales malthusiennes démontrées récemment par Bertoin, Budd, Curien et Kortchemski (2017).

Dans ce papier on étudie le nombre d’échanges requis dans l’algorithme FIND de Hoare (aussi appelé Quickselect) pour une entrée et un pivot uniformément distribués. Après normalisation on donne un théorème limite où la limite en loi est une perpétuité caractérisée par une équation distributionnelle récursive. Pour rendre ce théorème utile à des fins statistiques nous fournissons un taux de convergence explicite selon la métrique de Kolmogorov--Smirnov, ainsi qu’une table numérique et un algorithme de simulation exacte pour la loi limite. Cette étude de cas fournit un programme applicable à d’autres mesures de coûts, des modèles alternatifs pour le pivot tels que « median-of-2$t$+1 » ainsi que d’autres variantes de l’algorithme.